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Activités mathématiques en classe de terminale technologique - 27. Marche aléatoire – Casino

On souhaite simuler les gains (et les pertes... ) d'un joueur à la roulette.

Le joueur utilise la stratégie suivante : Il mise systématiquement 1 € sur le rouge.

1. Il y a 18 numéros rouges (qui feront gagner 1 € au joueur), 18 numéros noirs (le joueur perd sa mise) et un vert : le 0 où le joueur perd aussi.

Soit X la variable aléatoire représentant le gain (ou la perte) du joueur.

Donner la loi de X en complétant le tableau ci-dessous:

x

-1

1

p(X = x)

 

 

 

Quelle est l'espérance de X ? Que signifie ce résultat ?

2. Compléter la fonction Python jeu qui renvoie le gain du joueur lors d'un lancer de roulette.

3. On souhaite maintenant simuler n fois l'expérience aléatoire précédente et on nomme G le gain total lors de ces n expériences.

Compléter la fonction Python gain qui prend comme argument n, le nombre de jeux, et qui renvoie le gain total (le gain peut-être négatif si le joueur a perdu de l'argent). Lancer la fonction gain avec n = 500.

4. Afin de visualiser l'évolution du gain dans le temps, on va représenter graphiquement le numéro du jeu en abscisse et le gain (cumulé) en ordonnée.
Compléter la fonction Python graphe qui prend en argument n le nombre total de jeux et qui affiche le nuage de point recherché.
Lancer la simulation avec n = 500 plusieurs fois. Quelle tendance semble suivre ces graphiques ?

5. Soit Y la variable aléatoire représentant le nombre de fois où le joueur gagne lors des n jeux.
a) Quelle loi suit Y ?
b) En remarquant que p (Y > n/2) représente la probabilité d'avoir un gain positif lors des n jeux, calculer cette probabilité pour n = 500 et n = 2000.

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